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如图,已知sin∠ABC=
1
3
,⊙O的半径为2,圆心O在射线BC上,⊙O与射线BA相交于E、F精英家教网两点,EF=2
3

(1)求BO的长;
(2)点P在射线BC上,以点P为圆心作圆,使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切,求所有满足条件的⊙P的半径.
分析:(1)连接EO,过点O作OH⊥BA于点H.利用垂径定理构造直角三角形求得OH,然后利用告诉的∠B的正弦值求得OB;
(2)⊙P同时与⊙O和射线BA相切应分两种情况分类讨论:①当⊙P与⊙O外切;②当⊙P与⊙O内切.
解答:精英家教网解:(1)连接EO,过点O作OH⊥BA于点H.
∵EF=2
3
,∴EH=
3

∵⊙O的半径为2,即EO=2,
∴OH=1.在Rt△BOH中,
∵sin∠ABC=
1
3

∴BO=3.

(2)当⊙P与直线相切时,过点P的半径垂直此直线.
(a)当⊙P与⊙O外切时,
①⊙P与⊙O切于点D时,⊙P与射线BA相切,
sin∠ABC=
rP
1-rP
=
1
3
,得到:rP=
1
4

②⊙P与⊙O切于点G时,⊙P与射线BA相切,
sin∠ABC=
rp
5+rp
=
1
3
,得到:rP=
5
2

(b)当⊙P与⊙O内切时,
①⊙P与⊙O切于点D时,⊙P与射线BA相切,
sin∠ABC=
rP
1+rP
=
1
3
,得到:rP=
1
2

②⊙P与⊙O切于点G时,⊙P与射线BA相切,
sin∠ABC=
rP
5-rP
=
1
3
,得到:rP=
5
4

综上所述:满足条件的⊙P的半径为
1
4
5
2
1
2
5
4
点评:本题综合考查了直线与圆相切和两圆相切的知识,对学生建立系统的与圆相切有关的知识体系有很好的促进作用.
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若∠DPB=α,那么CD:AB等于(  )
A、sinα
B、cosα
C、tanα
D、
1
tanα

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科目:初中数学 来源: 题型:

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A、DE的长
B、BC的长
C、
2
3
DE
的长
D、
3
2
DE
的长

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知sin∠ABC=数学公式,⊙O的半径为2,圆心O在射线BC上,⊙O与射线BA相交于E、F两点,EF=数学公式
(1)求BO的长;
(2)点P在射线BC上,以点P为圆心作圆,使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切,求所有满足条件的⊙P的半径.

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科目:初中数学 来源:2010年上海市普陀区中考数学二模试卷(解析版) 题型:解答题

(2010•普陀区二模)如图,已知sin∠ABC=,⊙O的半径为2,圆心O在射线BC上,⊙O与射线BA相交于E、F两点,EF=
(1)求BO的长;
(2)点P在射线BC上,以点P为圆心作圆,使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切,求所有满足条件的⊙P的半径.

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