Question

8．如图，抛物线y=（1-m）x²+4x-3的开口向下，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，其中x₁＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）当x₁+x₂=10时，求抛物线的解析式；
（3）点C为抛物线的顶点，当△ABC为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意1-m＜0，解不等式即可．
（2）根据抛物线的对称轴列出方程即可解决问题．
（3）由（1-m）x²+4x-3=0，有x₁+x₂=$\frac{4}{m-1}$，x₁•x₂=$\frac{3}{m-1}$，推出|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{m-1}）^{2}-\frac{12}{m-1}}$，又因为-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2}{m-1}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{3m-7}{1-m}$，所以顶点C的坐标为（$\frac{2}{m-1}$，$\frac{3m-7}{1-m}$），根据△ABC是等腰直角三角形，可得|$\frac{3m-7}{1-m}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{4}{m-1}）^{2}-\frac{12}{m-1}}$，解方程即可．

解答 解：（1）由题意1-m＜0，即m＞1．

（2）由题意-$\frac{4}{2（1-m）}$=5，解得m=$\frac{7}{5}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{5}$x²+4x-3．

（3）由（1-m）x²+4x-3=0，有x₁+x₂=$\frac{4}{m-1}$，x₁•x₂=$\frac{3}{m-1}$，
∴|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{m-1}）^{2}-\frac{12}{m-1}}$，
又∵-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2}{m-1}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{3m-7}{1-m}$，
∴顶点C的坐标为（$\frac{2}{m-1}$，$\frac{3m-7}{1-m}$），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴|$\frac{3m-7}{1-m}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{4}{m-1}）^{2}-\frac{12}{m-1}}$，
解得m=2或$\frac{7}{3}$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3或y=-$\frac{4}{3}$x²+4x-3．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及函数与方程的关系、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程思想思考问题，属于中考常考题型．