Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线DB⊥AD，BC＝3，BD＝4．点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动（点P不与点A，B重合），点N为AP的中点，过点N作NM⊥AB交折线AD﹣DC于点M，以MN，NP为边作矩形MNPQ．设点P运动的时间为t（s）．

（1）求线段PQ的长；（用含t的代数式表示）

（2）求点Q落在BD上时t的值；

（3）设矩形MNPQ与△ABD重叠部分图形的面积为S平方单位，当此重叠部分为四边形时，求S与t之间的函数关系式；

（4）若点D关于直线AB的对称点为点D'，点B关于直线PQ的对称点为点B'，请直接写出直线B'D'与ABCD各边所在直线平行或垂直的所有t的值．

Answer 1

【答案】（1）当0＜t≤时，PQ＝t；当＜t＜时，PQ＝；（2）t＝；（3）当0＜t＜时， S＝t2，当≤t＜时，S＝﹣t2+t；（4）s或s或s．

【解析】

（1）①如图1中，作DH⊥AB于H．解直角三角形求出DH，AH，分两种情形：当0＜t≤时，当＜t＜时，分别求解即可；

（2）解直角三角形求出AM，DM（用t表示），根据AM+DM＝3，构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形①当0＜t＜时，如图1中，重叠部分是矩形MNPQ．②如图4中，当≤t＜时，重叠部分是四边形EFNP，分别求解即可；

（4）分三种情形：①如图5中，当D，P，Q共线时，B′D′⊥AD．②如图6中，当B′在直线DD′上时，B′D′⊥AB．③如图7中，当AH＝HB′＝时，B′D′∥AD，分别求解即可解决问题．

解：（1）①如图1中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝4，

∴AB＝＝＝5，

∵S△ABD＝ADDB＝ABDH，

∴DH＝＝，

∴AH＝＝，

∴点N从点A到点H的时间为：2AH÷2=s，点P从A到B的时间为：AB÷2=s

∴当0＜t≤时，

由题意可知AP=2t

AN=AP÷2=t

∵MN∥DH，

∴＝，

∴＝，

∴MN＝t，

∵四边形MNPQ是矩形，

∴PQ＝MN＝t．

②如图2中，当＜t＜时，PQ＝DH＝．

综上所述：当0＜t≤时，PQ＝t；当＜t＜时，PQ＝；

（2）如图3中，当点Q落在BD上时，

在Rt△AMN中，∵AN＝NP＝t，cosA＝＝＝，

∴AM＝t，

在Rt△DQM中，∵MQ＝PN＝t，sin∠DQM＝sin∠ABD＝＝，

∴DM＝t，

∵AM+DM＝3，

∴t+t＝3，

∴t＝．

（3）①当0＜t＜时，如图1中，重叠部分是矩形MNPQ，S＝PNMN＝tt＝t2．

②如图4中，当≤t＜时，重叠部分是四边形EFNP，

∵AN=t，AP=2t

∴BN=5－t，BP=5－2t

∵tan∠DBH=

∴PE=BP=（5－2t），FN=BN=（5－t）

∴S＝S△BNF﹣S△PBE＝×（5﹣t）2﹣×（5﹣2t）2＝﹣t2+t．

（4）①如图5中，当D，P，Q共线时，B′D′⊥AD．理由如下

由对称性可知：BP= B′P,DP= D′P，

∵∠BPD=∠B′PD′

∴△BPD≌△B′PD′

∴∠DBA=∠B′

∴DB∥B′D′

∴B′D′⊥AD

此时2t＝，t＝．

②如图6中，当B′在直线DD′上时，易知B′D′⊥AB，

此时∵AB′+2BP＝AB，

∴+2（5﹣2t）＝5，

∴t＝．

③如图7中，当AH＝HB′＝时，B′D′∥AD，理由如下

由对称性可知：AH= B′H,DH= D′H，

∵∠AHD=∠B′H D′

∴△AHD≌△B′H D′

∴∠A=∠HB′D′

∴B′D′∥AD

此时2AH＋2BP=5

∴2×+2（5﹣2t）＝5，

∴t＝，

综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．