已知:如图1.点D是边长为2的等边△ABC边BC所在直线上的一动点.从点B向C方向运动.以AD为边向右侧作等边△ADE．(1)连接CE.若点D在边BC上时.易知线段CE.CD.AC三者之间的关系为CE+CD=AC, 如图2当点D在C的右侧时.试探索线段CE.CD.AC三者之间的数量关系.并说明理由．(2)如图1.当点D从B运动到C时.①直接写出△CDE周长的最小值．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．已知：如图1，点D是边长为2的等边△ABC边BC所在直线上的一动点，从点B向C方向运动，以AD为边向右侧作等边△ADE．
（1）连接CE，若点D在边BC上时，易知线段CE、CD、AC三者之间的关系为CE+CD=AC；如图2当点D在C的右侧时，试探索线段CE、CD、AC三者之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图1，当点D从B运动到C时，①直接写出△CDE周长的最小值．②直接写出点E的运动路径长．
（3）若将题目中条件“等边△ADE”改为“满足∠ADE=60°与等边△ABC的外角平分线交于点E”，么CE与BD还相等吗？如图3请作出判断并给出说明．

分析（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，从而得出结论；根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE-CD；
（2）①因为△CDE的周长=AD+DC+CE，由（1）证得CE=BD，于是得到CD+CE=BC=2，得到△CDE的周长最小时，AD⊥BC，求得AD=$\sqrt{3}$，得到△CDE的周长=2+$\sqrt{3}$；
②由当点D从B运动到C，得到点E的运动路径=点D的运动路径=2；
（3）过点D作DF∥AC交AB于点F，通过证明三角形全等得到结论．

解答（1）答：CD+AC=CE理由
解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，AC=BC，
∴AC=CE+CD；
（2）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE-CD．理由：
解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BA∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
∴CE-CD=BD-CD=BC=AC，
∴AC=CE-CD；

（2）解：①∵△CDE的周长=AD+DC+CE，
由（1）证得CE=BD，
∴CD+CE=BC=2，
∴△CDE的周长最小时，AD⊥BC，
∵BC=2，∴AD=$\sqrt{3}$，
∴△CDE的周长=2+$\sqrt{3}$；
②∵当点D从B运动到C，
∴点D的运动路径为2，
∴点E是随D的运动而运动，
∴点E的运动路径=点D的运动路径=2；

（3）解：如图3，CE=BD，
过点D作DF∥AC交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，
∴∠BFD=∠BAC=60°，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF=BD，又AB=AC，
∴AF=CD，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
又∵∠B=60°，
∴∠ADB+∠BAD=120°，
∴∠CDE=∠BAD，
又∵∠AFD=∠DCE=120°，
在△AFD与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CDE}\\{AF=CD}\\{∠AFD=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴CE=DF，
又∵DF=BD，
∴CE=BD，

点评本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

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