Question

10．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD=4，AC=5，求⊙O的半径
【变式】若AE=5，AB=13，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；
（2）过点O作OF⊥AC于F，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△AFO，然后利用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）如图2，连接BE，OC交于G，得到四边形EGCD是矩形，根据矩形的性质得到DE=CG，CD=EG，根据垂径定理得到EG=$\frac{1}{2}$BE，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：连结OC（如图所示），
则∠ACO=∠CAO （等腰三角形，两底角相等），
∵CD切⊙O于C，
∴CO⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO．
∴∠DAC=∠ACO （两直线平行，内错角相等），
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠BAD．

（2）过点O作OF⊥AC于F（如图1所示），
∵OF⊥AC，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2.5，
∵∠CAO=∠DAC，∠AFO=∠ADC=Rt∠，
∴△AFO∽△ADC，
∴$\frac{AD}{AF}$=$\frac{AC}{AO}$，即：$\frac{4}{2.5}$=$\frac{5}{AO}$，
∴AO=3.125，即⊙O的半径为3.125；

（3）如图2，连接BE，OC交于G，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∴四边形EGCD是矩形，
∴DE=CG，CD=EG，
∴OC⊥BE，
∴EG=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴CD=EG=6，
∵OG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$，
∴DE=CG=4，
∴AD=9，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{13}$．

点评 此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．