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    如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△AFG绕点旋转，AF、AG与边BC的交点分别为点D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
    （1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；
    （2）△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D使BD=CE，求出点D的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
    （3）在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由．

    【答案】分析：（1）易得∠DAE=∠B=∠C=45°，那么可得∠BAE=ADC，则△BAE∽△CDA，同理可得△ABE∽△DCA；
    （2）由BD=CE得BE=CD，那么可得△ABE≌△ACD，则AD=AE，加上（1）中的相似，可得CD=AB=，由OC=1得到点D的坐标，进而表示出所求的代数式．
    （3）可旋转一特殊角的度数，求解，得到一般结论．
    解答：解：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
    ∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
    ∴∠BAE=∠CDA．
    又∠B=∠C=45°，
    ∴△ABE∽△DCA．

    （2）∵BD=CE，
    ∴BE=CD．
    ∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
    ∴△ABE≌△ACD．
    ∴AD=AE．
    ∵△BAE∽△CDA，
    ∴CD=AB=，易得CO=1．
    ∴OD=-1，那么点D的坐标为（1-，0）．
    ∵BD=2-，CE=2-，DE=2-2BD=2-2，
    ∴BD2+CE2=DE2．

    （3）成立．
    证明：将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
    ∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
    连接HD，在△EAD和△HAD中，
    ∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，
    ∴△EAD≌△HAD．
    ∴DH=DE．
    又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
    ∴BD2+CE2=DH2即BD2+CE2=DE2．
    点评：两角对应相等，两三角形相似；注意使用前面得到相似的条件；可用两个特殊结论得到相应的一般的结论．
    练习册系列答案
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    （1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；
    （2）△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D使BD=CE，求出点D的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
    （3）在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
    A.2sin(α+30°)=sinα+
    		3

    B.2sin(α+30°)=2sinα+
    		3

    C.2sin(α+30°)=
    		3
    sinα+cosα
    （1）正确的选项是
     
    ；
    （2）如图1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，请利用此图证明（1）中的结论；
    （3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD=8
    		2
    ，求S△ADC．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为4．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=a，CD=b．
    （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
    （2）求a•b的值；
    （3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么a•b的值是否发生了变化？为什么？
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）观察与猜想：已知当0°＜α＜60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是
    C
    C
    （填代号）
    A．2sin（30°+α）=sinα+
    		3
       
    B．2sin（30°+α）=2sinα+
    		3

    C．2sin（30°+α）=
    		3
    sinα+cosα．
    （2）探究与证明：如图1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，请利用图1证明（1）中你猜想的结论；
    （3）应用新知识解决问题：
    两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内，BD=8
    		2
    ，求S△ABC．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在同一平面内，四条线AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，AD、BC相交于点O，AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∠B=α，∠D=β．
    （1）如图2，AM、CN相交于点P．
    ①当α=β时，判断∠APC与α的大小关系，并说明理由．
    ②当α＞β时，请直接写出∠APC与α，β的数量关系．
    （2）是否存在AM∥CN的情况？若存在，请判断并说明α，β的数量关系；若不存在，请说明理由．

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