Question

如图①，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120^o，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

(1) 将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：直线ON是否平分∠AOC?请说明理由．

(2) 将图①中的三角板绕点O按每秒6^o的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直线ON恰好平分∠AOC，求旋转时间t的值．

(3) 将图①中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图③的位置，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，请说明理由。

Answer 1

 (1)直线ON平分∠AOC(如图)…………………………………………………………1分

∵OM平分∠BOC，且∠BOC=120^O w∴∠COM=60 ^O

又∠MON=90 ^O    ∴∠POM=90 ^O w

∴∠COP=30 ^O ,又∠AOC=60 ^O…………………………………………………………2分

∴OP平分∠AOC ………………………………………………………………………3分

(2)当ON绕O点旋转至图②位置时，ON平分∠AOC，此时ON转过60 ^O…………4分

    当ON转至锐角∠AOC内部平分∠AOC时，ON转过90 ^O +150 ^O =240 ^O  ………5分

    所以t=10或40(秒) …………………………………………………………………6分

    答：略。

(3) ∠AOM—∠NOC=30 ^O ………………………………………………………………7分

   ∵∠AOM+∠AON=90 ^O   ……………………………………………………………8分

∠AOM+∠NOC=60 ^O   ………………………………………………………………9分

   ∠AOM一∠NOC =30 ^O   ……………………………………………………………10分