Question

10．某商品现在的售价为每件60元，进价为每件40元，每星期可卖出300件；市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售的数量为y件，求y与x的函数关系；
（2）设每星期的利润为W元，问如何确定销售价格才能达到最大周利润；
（3）为了使每周利润不少于6000元，求售价的范围．

Answer 1

分析 （1）根据“每涨价1元，每个星期要少卖出10件；每降价1元，每个星期可多卖出20件”列出y与x的函数关系．
（2）设每星期所获利润为W，根据一星期利润等于每件的利润×销售量得到W与x的关系式；把解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案；
（3）分别根据60≤x≤90、40≤x≤60两种情况，求出每周利润不少于6000元时x的范围即可得．

解答 解：（1）根据题意得：涨价时，y=300-10（x-60）（60≤x≤90），
降价时，y=300+20（60-x）（40≤x≤60），
整理得：y=$\left\{\begin{array}{l}{-10x+900}&{（60≤x≤90）}\\{-20x+1500}&{（40≤x≤60）}\end{array}\right.$；

（2）当涨价时，W=（x-40）（-10x+900）
=-10（x-65）²+6250（60≤x≤90），
当x=65时，y的最大值是6250，
当降价时，W=（x-40）（-20x+1500）
=-20（x-57.5）²+6125 （40≤x≤60），
所以定价为：x=57.5（元）时利润最大，最大值为6125元．
综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元；

（3）当60≤x≤90时，-10（x-65）²+6250=6000，
解得：x=60或x=70，
∴60≤x≤70；
当40≤x≤60时，-20（x-57.5）²+6125=6000，
解得：x=55或x=60，
∴55≤x≤60，
综上，为了使每周利润不少于6000元，售价x的范围是55≤x≤70．

点评 本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用能力，理解题意分类讨论是解题的前提，找到题目蕴含的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键．