Question

15．如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是的外接圆，BD⊥AC于点D，交⊙O于点F，AO的延长线交BD于点E，连接AF．
（1）求证：AE=AF；
（2）若sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，AE=5，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知得出∠CAF=∠CAE，进而得出△EAD≌△FAD，即可得出答案；
（2）直接利用已知结合相似三角形的性质得出EF的长．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴AE⊥BC，
∴∠EAC+∠C=90°，
又∵∠DBC+∠C=90°，∠EAC=∠CBD，
∴∠CBD=∠CAF，
∴∠CAF=∠CAE
在△EAD和△FAD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}\\{AD=AD}\\{∠EDA=∠FDA}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△FAD（ASA），
∴AE=AF；

（2）解：∵sin∠BAC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
设BD=4a，AB=5a，则AD=3a，CD=2a，
∵∠EAC=∠CBD，
∠ADE=∠BDC，
∴Rt△DAE∽Rt△DBC，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{DC}$，DE=$\frac{3}{2}$a，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$a，
∵AE=5
∴$\frac{3\sqrt{5}}{2}$a=5，
解得：a=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴EF=2DE=3a=2$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确用未知数表示出各边长是解题关键．