Question

已知如图，直线y=-

3

x+4

3

与x轴相交于点A，与直线y=

3

3

x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求S_△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标．
（2）把OA看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积．
（3）应该分两种情况，当在OP上时和PA时，讨论两种情况求解．

解答：解：（1）-

3

x+4

3

=

3

3

x
x=3，
y=

3

．
所以P（3，

3

）．

（2）0=-

3

x+4

3

．
x=4．
4×

3

×

1

2

=2

3

．
故面积为2

3

．

（3）当E点在OP上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以E点纵坐标为

3

3

a，
∴S=

1

2

×

3

3

a•a=

3

6

a²．
当点E在PA上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以E点纵坐标为-

3

a+4

3

．
M点横坐标为：-3a+12，
∴S=（-

3

a+4

3

）a-

1

2

（-

3

a+4

3

）（-3a+12）=-

5 3

2

a²+16

3

a-24

3

．

点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标．