Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连接AN，CM相交于点P，试求∠APM的度数．

Answer 1

解：如图，过A作AB的垂线，在其上截取AK=CN=MB，连KM，KC，则
因为AM=BC，AK=BM，∠KAM=∠B=90°，
所以△KAM≌△MBC，
所以KM=CM，∠AMK=∠MCB
因为∠CMB+∠MCB=90°，
所以∠CMB+∠AMK=90°
所以∠KMC=90°
所以△KMC为等腰直角三角形，∠MCK=45°
又因为∠KAM=∠B=90°，AK=CN，
所以AK∥CN，
所以四边形ANCK是平行四边形，
所以KC∥AN，
所以∠APM=∠KCM=45°．
分析：可过A作AB的垂线，在其上截取AK=CN=MB，连KM，KC，得△KAM≌△MBC，进而由题中条件得出△KMC为等腰直角三角形，再证△AKC≌△CAN，得出∠KCA=∠NAC，即KC∥AN，进而可将∠APM转化为∠KCM求解．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰直角三角形的性质等问题，能够通过作辅助线在图形之间建立联系，进而辅助解题．