Question

如图(1)，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P： （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由． （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

Answer 1

（1）设两直角边PH，PF能分别通过点B与点C， ∵∠HPF=90°，∴PB2+PC2=BC2=100 又设PA=x，∵∠A=∠D=90°，在△ABP，△PDC中 ∴PA2+AB2=PB2，PD2+CD2=PC2 ∵PA+PD=AD=10，AB=CD=4 ∴x2+16+(10-x)2+16=PB2+PC2=100 化简得:x2-10x+16=0 解之得:x1=2，x2=8 ∵2<10，8<10 ∴当PA=2cm或8cm时，三角板两直角边PH，PF分别通过点B，C. （2）如图（2），过点E作EG⊥AD于点G，∴∠PGE=90° 根据题意得：DG=CE=2，EG=CD=4 ∵BE+CE=BC=10 ∴BC=8 在△PBE中，∵∠BPE=90° ∴PB2+PE2=BE2=64 又∵∠A=∠D=90° ∴AP2+AB2=PB2，PG2+PG2+EG2=PE2 而AB=EG=4，设AP=X，则PG=8-x ∴x2+16+(8-x)2+16=64 化简得:x2-8x+16=0 解之得:x1=x2=4 答：当AP=4时，PH经过点B，PF与BC交于点E，且CE=2cm.