Question

如图，将矩形AOCD平放在平面直角坐标系中，E是边AD上的点，若沿着OE所在直线对折，点A恰好落在对角线AC上的F点处，已知AE=4，OC=5，双曲线y=

k

x

经过点F，则k=

80 5

81

．

Answer 1

分析：首先过点F作FN⊥CO于点N，过点F作FS⊥AD于点S，得出△OFN∽△FES，进而得出F点横坐标，再利用勾股定理得出FN的值，即可得出F点坐标，进而得出k的值．

解答：解：过点F作FN⊥CO于点N，过点F作FS⊥AD于点S，
∵将矩形AOCD平放在平面直角坐标系中，E是边AD上的点，沿着OE所在直线对折，
点A恰好落在对角线AC上的F点处，AE=4，OC=5，
∴AE=EF=4，
设F点横坐标为x，设AO=y，
则ON=x，SE=x-4，FO=y，
∵FN∥AO，
∴

FN

NC

=

AO

CO

，
∴

FN

5-x

=

y

5

，
则FN=

y(5-x)

5

，
∴∠OFE=∠OAE=90°，
∴∠OFN+∠EFS=90°，
∠FON+∠OFN=90°，
∴∠FON=∠SFE，
∵∠ONF=∠FSE=90°，
∴△OFN∽△FES，
∴

FN

ES

=

FO

EF

，
∴

y(5-x) 5

x-4

=

y

4

，
解得：x=

40

9

，
∴NC=5-

40

9

=

5

9

，
∴

NC

CO

=

FN

AO

=

5 9

5

=

1

9

，
∴FN=

1

9

y，
∴y²=（

1

9

y）²+（

40

9

）²，
解得：y₁=2

5

，y₂=-2

5

（不合题意舍去），
∴FN=

1

9

×2

5

=

2 5

9

，
∴F点坐标为：（

40

9

，

2 5

9

），
∴k=

40

9

×

2 5

9

=

80 5

81

．
故答案为：

80 5

81

．

点评：此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的性质、勾股定理等知识，根据已知得出F点横坐标是解题关键．