Question

10．如图．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）如果点G是BC的中点，且BC=12，DC=10，求四边形AGCD的面积．

Answer 1

分析 （1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）由点G是BC的中点，BC=12，得到BG=CG=$\frac{1}{2}BC$=6，根据四边形AGCD是平行四边形，DC=10，根据勾股定理得：AB=8，求出四边形AGCD的面积为6×8=48．

解答 证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG=DC，
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE=$\frac{1}{2}$AG，DF=$\frac{1}{2}$DC，
即GE=DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形；

（2）∵点G是BC的中点，BC=12，
∴BG=CG=$\frac{1}{2}BC$=6，
∵四边形AGCD是平行四边形，DC=10，
AG=DC=10，
在Rt△ABG中，
根据勾股定理得：AB=8，
∴四边形AGCD的面积为：6×8=48．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．