Question

17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上一个动点（P与B，C不重合）连接PM并延长交AD的延长线于Q．
①求证：△PCM≌△QDM；
②当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？

Answer 1

分析 ①要证明△PCM≌△QDM，只要找出全等的条件即可，由题意可得到有两个角及其夹边对应相等，从而可以证明结论；
②由平行四边形的性质可以得到当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形．

解答 ①证明：∵AD∥BC，
∴∠C=∠QDM，
∵点M是CD的中点，
∴MD=MC，
在△PCM和△QDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠QDM}\\{CM=DM}\\{∠CMP=∠DMQ}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△QDM（ASA）；
②设PC=x时，四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ=BP，
∵△PCM≌△QDM，
∴CP=DQ，
∵AD=5cm，BC=8cm，
∴AQ=5+x，BP=8-x，
则5+x=8-x，得x=1.5，
即当点P运动到距离点C1.5cm时，四边形ABPQ是平行四边形．

点评 本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．