Question

6．提出问题
在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
探究问题
（1）如图①，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=4，请你过点C画出△ABC的一条“等分积周线”，与AB交于点D，并求出CD的长；
（2）如图②，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，过点C画一条直线CE，其中点E为AB上一点，你觉得CE可能是△ABC的“等分积周线”吗？请说明理由；
解决问题
（3）西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处．在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地ABCD，其中∠A=∠B=90°，AB=4，BC=6，CD=5，现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积，且要求这条水渠必须经过BC边．请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与BC边的交点到点B的距离．

Answer 1

分析 （1）如图1中，过C作CD⊥AB．线段CD即为△ABC的“等分积周线”．根据直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长．
（2）不能．当E为AB中点时，S_△BCE=S_△ACE，由BE=AE，AC≠BC，可知C_△BCE≠C_△ACE，所以CE不可能是△ABC的“等分积周线”．
（3）如图3中，过D作DE⊥BC，则AB=DE=4，首先求出四边形ABCD的面积、周长，分三种情形讨论即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，过C作CD⊥AB．线段CD即为△ABC的“等分积周线”．

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°
∴∠A=∠B=45°，
∴CA=CB，∵CD⊥AB，
∴AD=DB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=2；

（2）不能．
理由：如图2中，

当E为AB中点时，S_△BCE=S_△ACE，
∵BE=AE，AC≠BC，
∴C_△BCE≠C_△ACE
∴所以CE不可能是△ABC的“等分积周线”．

（3）如图3中，过D作DE⊥BC，则AB=DE=4，
∵CD=5，
∴CE=3，
∵BC=6，
∴BE=AD=3，
∴S_{四边形ABCD}=18，C_{四边形ABCD}=18．

①如图4中，当直线l交AD、BC于M、N．

设BN=x，则AM=9-4-x=5-x，
S_{四边形ABNM}=$\frac{1}{2}$（5-x+x）•4=10≠9，不成立

②如图5中，当直线l交AB、BC于M、N．

设BN=x，BM=9-x，
则S_△BMM=$\frac{1}{2}$•x（9-x）=9，
解得x=6或3（舍弃，此时BM＞4），
∴BF=6．

③如图6中，当直线l交CD、BC于M、N．

设CN=x，CM=9-x，作MH⊥BC于H，易知MH=$\frac{4}{5}$（9-x），
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{4}{5}$（9-x）=9，
∴2x²-18x+45=0，
△=-36＜0，此种情形不存在．
综上所述，水渠的位置如图7所示，

此时水渠与BC边的交点到点B的距离是6．

点评 本题考查三角形的面积、周长、直角梯形的性质、等腰直角三角形的性质、“等分积周线”的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，学会分类讨论解决问题，属于中考压轴题．