Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值；
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形？若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题的关键是求梯形的高，可通过梯形两底的差和腰的长求出梯形的高，然后根据梯形的面积公式即可得出梯形ABCD的面积．
（2）可用二次函数来求解．可设四边形MEFN（其实是矩形）的面积为y，AE=BF=x，那么可根据AB的长表示出EF，然后根据相似三角形△AEM和△AGD得出的关于EM、GD、AE、AG的比例关系式用x表示出ME （也可用∠A的正切函数来求），然后根据矩形的面积公式即可得出y、x的函数关系式，根据函数的性质即可求出y的最大值也就是矩形MEFN的最大面积．
（3）若四边形MEFN为正方形，那么ME=EF，可据此确定x的值，然后将x的值代入（2）的函数式中即可求出正方形MEFN的面积．

解答：解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH．
∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL）．
∴AG=BH=

AB-GH

2

=

7-1

2

=3．
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4．
∴S_梯形ABCD=

(1+7)×4

2

=16．

（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ME=NF，ME∥NF．
∴四边形MEFN为矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF．
设AE=x，则EF=7-2x．
∵∠A=∠A（公共角），∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA．
∴

AE

AG

=

ME

DG

．
∴ME=

4

3

x．
∴S_矩形MEFN=ME•EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
当x=

7

4

时，ME=

7

3

＜4，
∴四边形MEFN面积的最大值为

49

6

．

（3）能．
由（2）可知，设AE=x，则EF=7-2x，ME=

4

3

x．
若四边形MEFN为正方形，则ME=EF．
即

4x

3

=7-2x．
解得x=

21

10

．
∴EF=7-2x=7-2×

21

10

=

14

5

＜4．
∴四边形MEFN能为正方形，其面积为S_{正方形MEFN}=（

14

5

）²=

196

25

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质以及二次函数的应用等知识点．综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．