Question

15．如图，在正方形ABCD中，BD为一条对角线，点P为CD边上一点，A连接AP，并将△ADP平移使AD与BC边重合，P点落在DC的延长线上的一点G处，过G点作GH⊥BD于点H，连接HP和HC
（1）在图中依题意补全图形；
（2）求证：PH=CH．

Answer 1

分析 （1）依题意补全图形即可；
（2）先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，由平移的性质得出DP=QC，再由SAS定理证明△HDP≌△HQC，得出对应边相等即可．

解答 （1）解：依题意补全图形，如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，
∴∠HDQ=45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形．
∵平移△ADP，得到△BCQ，
∴△ADP≌△BCQ，
∴DP=CQ，
在△HDP与△HQC中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=QH}&{\;}\\{∠HDP=∠HQC}&{\;}\\{DP=QC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC（SAS），
∴PH=CH．

点评 本题考查了正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．