Question

如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：由PC=BC得到∠CPB=∠CBP，利用对顶角相等得∠APO=∠CPB，则∠CBP=∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO=90°，加上∠A=∠ABO，所以∠CBP+∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线．

解答：证明：∵PC=BC，
∴∠CPB=∠CBP，
而∠APO=∠CPB，
∴∠CBP=∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．