Question

如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：BE=DE．
（2）若四边形ABCD的面积为9，求BE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质

专题：

分析：（1）作BF⊥DC于F，先证出四边形BEDF是矩形，得出DE=BF，再证出△CBF≌△ABE，证出BF=BE即可；
（2）由四边形ABCD的面积等于正方形BEDF的面积即可求出BE的长．

解答：（1）证明：作BF⊥DC，交DC的延长线于F；如图所示：
则∠F=90°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BED═90°．
∵∠CDA=90°，
∴四边形BEDF为矩形．
∴DE=BF，∠EBF=90°．
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∵∠ABE+∠CBE=90°
∴∠CBF=∠ABE，
在△CBF和△ABE中，

∠F=∠AEB   ∠CBF=∠ABE   BC=AB

∴△CBF≌△ABE（AAS）．
∴BF=BE，
∴BE=DE．
（2）∵△CBF≌△ABE，
∴BF=BE，
∴四边形BEDF是正方形，
∴S_{正方形BEDF}=S_{四边形ABCD}=9=BE²，
∴BE=3．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．