Question

已知，如图，AB和AC是夹角为127°的两面水泥墙俯视图，其中AB墙长为5米，AC墙长为15米，现借用这两面墙，并用16米长的篱笆（图中线段DE，EF的长度和）作另两面墙，围成一个四边形菜园ADEF，使得DE∥AC，DE⊥EF．设EF的长为x米，菜园ADEF的面积为y平方米．
（1）用x分别表示AD，AF的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当EF为何值时，菜园ADEF有最大值，最大值是多少？
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan37°≈0.75）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用,二次函数的应用

专题：

分析：（1）如图，过点A作AM⊥DE于点M，构建矩形AMEF和直角△ADM，通过矩形的性质和解直角三角形进行解答即可；
（2）利用（1）中的数据和梯形的面积公式进行解答；
（3）利用（2）中的函数关系式进行求最值．

解答：解：（1）如图，过点A作AM⊥DE于点M，
∵DE∥AC，DE⊥EF，
∴四边形AMEF是矩形．
∴∠FAM=90°，EF=AM=x．
∵∠BAF=127°，
∴∠DAM=37°．
在直角△ADM中，DM=AM•tan37°≈0.75x，AD=

AM

cos37°

=

AM

sin53°

≈

5

3

x，
∴AF=16-x-0.75x=16-1.75x．

（2）y=

1

2

（AF+DE）•EF=

1

2

×（16-1.75x+16-x）x=

1

2

（32-2.75x）x=-

11

8

x²+16x．即y=-

11

8

x²+16x（0＜x＜

64

7

）；

（3）由（2）知，y=-

11

8

x²+16x，
所以y=-

11

8

x²+16x=-

11

8

（x²-

64

11

）²+

512

11

．
所以 当x=

64

7

时，y_最大=

512

11

．

点评：本题考查了解直角三角形的应用和二次函数的应用，求二次函数的最值时，也可以根据抛物线顶点坐标公式进行解答．