Question

如图长方形ABCD，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后的△GBE，且点G在长方形ABCD内部，延长BG交DC于F，
（1）求证：GF=DF；
（2）若DC=2DF，求的值；
（3）若DC=nDF，且，则n=______．

Answer 1

（1）证明：连接EF，
∵△BGE由△BAE翻折而成，
∴∠A=∠EGB=90°，AE=EG，
∵E是AD的中点，
∴AE=EG=DE，
∴
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²
∴y=2x，
∴==；

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²
∴y=2x，
∴==，
∵，
∴n=3．
故答案为：3．
分析：（1）连接EF，由图形翻折变换的性质可知，∠A=∠EGB=90°，AE=EG，由HL定理可得出Rt△EGF≌Rt△EDF，故可得出结论；
（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；
（3）同（2）可用n表示出的值，再根据即可求出n的值．
点评：本题考查的是图形的反折变换，涉及到矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，难度适中．