Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．
（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；
（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；
（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图2，连接DC．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵点D是AB中点，
∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD，
∴∠ACD=∠B=45°．
∵ED⊥DF，CD⊥AB，
∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DE=DF；

（2）解：如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P．
∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°，
∴△ADP∽△BDQ，
∴DP：DQ=AD：DB=m．
∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，
∴∠QDP=90°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，
∴∠QDF=∠PDE，
∵∠DQF=∠DPE=90°，
∴△DQF∽△DPE，
∴DE：DF=DP：DQ，
∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=m；

（3）解：①如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，
∴AB=，
∵AD：DB=1：2，
∴AD=，DB=．
由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°，
可得AG=EG=，BH=FH=，
GD=，HD=，
易证△DGE∽△FHD，
∴，
∴，
∴y=8-2x，
定义域是0＜x≤4．
②如备用图2，取CE的中点O，作OM⊥AB于M．
可得CE=6-x，AO=，OM=．
若以CE为直径的圆与直线AB相切，则，
解得，
∴当时，以CE为直径的圆与直线AB相切．
分析：（1）连接DC，由于△ABC是等腰直角三角形，点D是中点，所以AD是∠ACB的角平分线，根据“角角边”容易判定△CED≌△BFD，进而证得DE=DF．
（2）先证△ADP∽△BDQ，进而证得DQ：DP=AD：DB=m，再证△DQF∽△PDE，进而证得DE：DF=DQ：DP=AD：DB=m．
（3）①根据已知条件，易证△DGE∽△FHD，根据相似三角形的性质，列出比例式，整理得到函数关系式．
②先假设相切，列出等式，看解的情况，若有解，则存在，若无解，则不存在．
点评：此题作为压轴题，综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识，是一个大综合题，难度较大．