Question

13．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC=BC，∠CAB的平分线AD交BC于点E、交⊙O于点D，延长BD交AC的延长线线于点F，连结CD、OG平分CD．
（1）求证：AF=AB；
（2）求证：2OG=AD；
（3）若CD=4-2$\sqrt{2}$，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明△FAD≌△BAD，即可解决问题．
（2）连接OD，作OM⊥BD，则DM=BM，首先证明AD=2OM，再证明△ODG≌△ODM（HL），推出OG=OM，推出2OG=AD．
（3）因为CD为Rt△CBF斜边上的中线，所以BF=2CD=2（4-2$\sqrt{2}$）=8-4$\sqrt{2}$，设OA=r，则AF=AB=2r，AC=BC=$\sqrt{2}$r，推出CF=（2-$\sqrt{2}$）r，在Rt△BCF中，根据BC²+CF²=BF²，
可得方程（$\sqrt{2}$r）²+[（2-$\sqrt{2}$）r]²=（8-4$\sqrt{2}$）²，求出r²即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADF=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD=∠BAD，
在△ADF和△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠BAD}\\{AD=AD}\\{∠ADF=∠ADB}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△BAD，
∴AF=AB．

（2）连接OD，作OM⊥BD，则DM=BM，
∵OA=OB，
∴OM∥AD，AD=2OM，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴CD=BD，
∵OG平分CD，
∴OG⊥CD，DG=CG，
∴DG=DM，
在Rt△ODG和Rt△ODM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{DG=DM}\end{array}\right.$，
∴△ODG≌△ODM（HL），
∴OG=OM，
∴2OG=AD．

（3）∵CD为Rt△CBF斜边上的中线，
∴BF=2CD=2（4-2$\sqrt{2}$）=8-4$\sqrt{2}$，
设OA=r，则AF=AB=2r，AC=BC=$\sqrt{2}$r，
∴CF=（2-$\sqrt{2}$）r，
在Rt△BCF中，∵BC²+CF²=BF²，
∴（$\sqrt{2}$r）²+[（2-$\sqrt{2}$）r]²=（8-4$\sqrt{2}$）²，
∴r²=8-4$\sqrt{2}$，
∴⊙O的面积为（8-4$\sqrt{2}$）π．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、角平分线的性质、垂径定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．