Question

8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，矩形CDEF的顶点D是线段BC上一动点，点F在射线CA上，且CF=2CD，点D从点C出发，运动至点B停止，设CF=x，矩形CDEF与△ABC重合部分的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤4，4＜x≤16时，函数的关系式不同）．
（1）填空：BC的长为8；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象中x=16，即CF=16，结合CF=2CD且此时点B与点D重合即可得；
（2）由题意知AC=4、CF=x、CD=EF=$\frac{x}{2}$，分以下三种情况分别求解可得：①0≤x≤3.2时，重合部分面积=S_矩形CDEF；②3.2＜x≤4时，重叠部分面积=S_△ABC-S_△BDP-S_△AQF；③4＜x≤16时，重叠部分面积=S_△ABC-S_△BDM．

解答 解：（1）由函数图象可知x=16时，运动停止，即点B与点D重合，且CF=16，
∵CF=2CD，
∴CD=8，即BC=8，
故答案为：8；

（2）由函数图象可知AC=4，CF=x，CD=EF=$\frac{x}{2}$，
①如图1，当点E在AB上时，AF=AC-CF=4-x，

∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{\frac{x}{2}}{8}$，
解得：x=3.2，
∴当0≤x≤3.2时，矩形CDEF与△ABC重合部分为矩形CDEF，
则其面积y=x•$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x²；
②如图2，当3.2＜x≤4时，

∵DP∥AC，QF∥BC，
∴△BDP∽△BCA，△AQF∽△ABC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DP}{CA}$、$\frac{QF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，即$\frac{8-\frac{x}{2}}{8}=\frac{DP}{4}$、$\frac{QF}{8}=\frac{4-x}{4}$，
解得：DP=4-$\frac{x}{4}$、QF=8-2x，
则y=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{1}{2}$×（8-$\frac{x}{2}$）（4-$\frac{x}{4}$）-$\frac{1}{2}$（4-x）（8-2x）=-$\frac{17}{16}$x²+10x-16；
③如图3，当4＜x≤16时，

∵DM∥AC，
∴△BDM∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DM}{CA}$，即$\frac{8-\frac{x}{2}}{8}$=$\frac{DM}{4}$，
解得：DM=4-$\frac{x}{4}$，
则y=$\frac{1}{2}$×4×8-$\frac{1}{2}$×（8-$\frac{x}{2}$）（4-$\frac{x}{4}$）=-$\frac{{x}^{2}}{16}$+2x；
综上，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0≤x≤3.2）}\\{-\frac{17}{16}{x}^{2}+10x-16}&{（3.2＜x≤4）}\\{-\frac{1}{16}{x}^{2}+2x}&{（4＜x≤16）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查动点问题的函数图象，根据题意理解函数图象中x=4和x=16的实际意义及分类讨论思想、相似三角形的判定与性质是解题的关键．