Question

16．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），以AB为斜边在右上方作Rt△ABC．设点C坐标为（x，y），则（x+y）的最大值=4+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据以AB为斜边在右上方作Rt△ABC，可知点C在以AB为直径的⊙D上运动，根据点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与⊙D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），代入直线y=-x+m，可得m=4+2$\sqrt{5}$，即可得出x+y的最大值为4+2$\sqrt{5}$．

解答 解：由题可得，点C在以AB为直径的⊙D上运动，
点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，
此时，直线y=-x+m与⊙D相切，交x轴与E，如图所示，
连接OD，CD，
∵A（6，0）、B（0，2），
∴D（3，1），
∴OD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴CD=$\sqrt{10}$，
根据CD⊥EF可得，C、D之间水平方向的距离为$\sqrt{5}$，铅垂方向的距离为$\sqrt{5}$，
∴C（3+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），
代入直线y=-x+m，可得
1+$\sqrt{5}$=-（3+$\sqrt{5}$）+m，
解得m=4+2$\sqrt{5}$，
∴x+y的最大值为4+2$\sqrt{5}$，
故答案为：4+2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解．