Question

20．如图1，已知?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，交DE于H．
（1）求证：AB=BH；
（2）如图2，连AH，CH，判断以AH、BD、CH为边构成的三角形形状，并说明理由；
（3）若BE=5，且以AH、BD、CH为边构成的三角形的面积为10，试求此时平行四边形的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1中，由△HBE≌△CDE，推出BH=CD，由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，即可证明AB=BH．
（2）由△ABH是等腰直角三角形，推出AH=$\sqrt{2}$BH，由△BDE是等腰直角三角形，推出BD=$\sqrt{2}$BE，由△HCE是等腰直角三角形，推出CH=$\sqrt{2}$HE，在Rt△BHE中，BH²=BE²+HE²，因为AH²=2BH²，BD²+CH²=2（BE²+HE²），即可推出AH²=BD²+CH²，由此即可证明．
（3）如图2中，由（2）可知以AH、BD、CH为边构成的三角形与△BHE相似，相似比为$\sqrt{2}$，推出面积比为2，由以AH、BD、CH为边构成的三角形的面积为10，推出△BHE的面积为5，由$\frac{1}{2}$•BE•HE=5，推出HE=2，推出EC=EH=2，BC=BE+EC=7，DE=BE=5，根据平行四边形ABCD的面积为BC•DE计算即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠DBE=45°，
∴∠EBD=∠EDB=45°，
∴EB=ED，
∵BF⊥CD，
∴∠DFH=90°，
∴∠DHF+∠HDF=90°，∠BHE+∠HBE=90°，
∴∠DHF=∠BHE，
∴∠HBE=∠CDE，
在△HEB和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEH=∠DEC}\\{BE=DE}\\{∠HBE=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△HBE≌△CDE，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH．

（2）解：结论：以AH、BD、CH为边构成的三角形是直角三角形．
理由：如图2中，

∵AB∥CD，
∴∠ABH=∠BFC=90°，
∵AB=BH，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH=$\sqrt{2}$BH，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$BE，
∵△HBE≌△CDE，
∴HE=EC，
∴△HCE是等腰直角三角形，
∴CH=$\sqrt{2}$HE，
在Rt△BHE中，BH²=BE²+HE²，
∵AH²=2BH²，BD²+CH²=2（BE²+HE²），
∴AH²=BD²+CH²，
∴以AH、BD、CH为边构成的三角形是直角三角形
（3）解：如图2中，由（2）可知以AH、BD、CH为边构成的三角形与△BHE相似，相似比为$\sqrt{2}$，
∴面积比为2，
∵以AH、BD、CH为边构成的三角形的面积为10，
∴△BHE的面积为5，
∴$\frac{1}{2}$•BE•HE=5，
∴$\frac{1}{2}$×5×HE=5，
∴HE=2，
∴EC=EH=2，BC=BE+EC=7，DE=BE=5，
∴平行四边形ABCD的面积为BC•DE=35．

点评 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、平行四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是等腰直角三角形的性质的应用，属于中考压轴题．