Question

1．已知：如图，在△ABC中，AC=AB=10，BC=16，动点P从A点出发，沿线段AC运动，速度为1个单位/s，时间为t秒，P点关于BC的对称点为Q．
（1）当t=2时，则CN的长为$\frac{32}{5}$；
（2）连AQ交线段BC于M，若AM=2MQ，求t的值；
（3）若∠BAQ=3∠CAQ时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）过A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得到CD=$\frac{1}{2}$BC=8，根据平行线分线段成比例定理结论得到结论；
（2）由轴对称的性质得到PN=QN，CN⊥PQ，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠B，根据相似三角形的性质得到$\frac{CQ}{AB}=\frac{QM}{AM}$=$\frac{1}{2}$，于是得到结论；
（3）过A作AD⊥BC于D，根据平行线的性质得到∠DAM=∠AQP，由等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，CD=$\frac{1}{2}$BC=8，设AP=PQ=2x，得到PN=x，PC=10-2x，根据勾股定理得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=6，根据相似三角形的性质得到结论．

解答 解：（1）当t=2时，AP=2，CP=10-2=8，
如图1，过A作AD⊥BC于D，
∵AC=AB，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=8，
∵PQ⊥BC，
∴PN∥AD，
∴$\frac{CN}{CD}=\frac{CP}{AC}$，
∴$\frac{CN}{8}=\frac{8}{10}$，
∴CN=$\frac{32}{5}$；
故答案为：$\frac{32}{5}$；
（2）∵P点关于BC的对称点为Q，
∴PN=QN，CN⊥PQ，
∴CQ=CP，
∴∠QCN=∠PCN，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠B，
∴∠QCM=∠B，
∴CQ∥AB，
∴△CQM∽△BAM，
∴$\frac{CQ}{AB}=\frac{QM}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴AP=5，
∴t=5；
（3）如图2，过A作AD⊥BC于D，
∴PQ∥AD，
∴∠DAM=∠AQP，
∵AC=AB，
∴∠BAD=∠CAD，CD=$\frac{1}{2}$BC=8，
∵∠BAQ=3∠CAQ，
∴∠DAM=∠PAM，
∴∠PAQ=∠PQA，
∴AP=PQ=2PN，
设AP=PQ=2x，
∴PN=x，PC=10-2x，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=6，
∵PQ∥AD，
∴△CPN∽△CAB，
∴$\frac{CP}{CA}=\frac{PN}{AD}$，
∴$\frac{10-2x}{10}$=$\frac{x}{6}$，
∴x=$\frac{30}{11}$，
∴t=$\frac{30}{11}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键．