Question

已知关于x的方程x²-kx+k²+n=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，且（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0．
（1）求证：n＜0；
（2）试用k的代数式表示x₁；
（3）当n=-3时，求k的值．

Answer 1

证明：（1）∵关于x的方程x²-kx+k²+n=0有两个不相等的实数根，
∴△=k²-4（k²+n）=-3k²-4n＞0，
∴n＜-k²．
又-k²≤0，
∴n＜0．

解：（2）∵（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0，x₁+x₂=k，
∴（x₁+x₁+x₂）²-8（x₁+x₁+x₂）+15=0
∴（x₁+k）²-8（x₁+k）+15=0
∴[（x₁+k）-3][（x₁+k）-5]=0
∴x₁+k=3或x₁+k=5，
∴x₁=3-k或x₁=5-k．

（3）∵n＜-k²，n=-3，
∴k²＜4，即：-2＜k＜2．
原方程化为：x²-kx+k²-3=0，
把x₁=3-k代入，得到k²-3k+2=0，
解得k₁=1，k₂=2（不合题意），
把x₁=5-k代入，得到3k²-15k+22=0，△=-39＜0，所以此时k不存在．
∴k=1．
分析：（1）方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于n，k的不等式，结合不等式的性质，证出结论；
（2）根据根与系数的关系，把x₁+x₂=k代入已知条件（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0，即可用k的代数式表示x₁；
（3）首先由（1）知n＜-k²，又n=-3，求出k的范围．再把（2）中求得的关系式代入原方程，即可求出k的值．
点评：本题综合考查了一元二次方程的解法、一元二次方程根的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系以及分类讨论的思想．