(1)证明:连结
,
由题意得,------------1分
,
,
为公共边
∴
∴
-------------------2分
(利用勾股定理逆定理相应给分)
∴
∴
与圆
相切.-------------------3分
(2)当点
运动到与
点重合的位置时,
为正方形
的对角线,所以此时
最长,有:
-----------------4分
当点
运动到线段
与半圆
的交点处时,
最短.
-----------------5分
证明如下:
在半圆
上任取一个不与点
重合的点
,连结
,
.
在
中,∵
即:
,
∵
∴
∵点
是任意一个不与点
重合的点,∴此时
最短. -----------------6分
∴
-------------7分
(3)当点E与点A重合时,DE=DA=10,此时,直线DE的解析式为
y=10;
---------8分
当点
E与点
A不重合时,过点
E作
GH⊥
轴,分别交
,
轴于点
,
,连结
.
则四边形
是矩形,且
为圆
的切线
∴
=90°
∴
-----------------------9分
又∵
∴
∽
∴
----------------------10分
设
,则有:
,
得:
,-----------------------11分
解得:
, 即:
----------------12分
又直线
DE过点
D(10,10),设直线
解析式为
,则有:
,
解得:
,即:
∴当
时,直线
的解析式为
或
-----------------------14分
以下两种解法涉及高中知识,仅供参考:
另解2:
(1)当点E与点A重合时,DE=DA=10,此时,直线DE的解析式为
y=10;
(2)当点E与点A不重合时,
,
设直线
且经过点(10,10),代入求得
所以直线DE的解析式为
另解3:
依题意得:点
O的坐标为(0,5),设直线
DE的解析式为
由点到直线的距离公式得:
,即
①
直线
DE过点
D(10,10),得
②
由①②解得:
,解得
所以直线
DE的解析式为
(1)如图1,连接OE,OD,由题意得,DE=DA=10,利用(SSS)判定△AOD≌△EOD,从可得∠OED=∠OAD=90°即可.
(2)当点E运动到与B点重合的位置时,如图2,DE为正方形ABCD的对角线,所以此时DE最长,利用勾股定理求得DE,证明当点E运动到线段OD与半圆O的交点处时,DE最短.然后求得DE=OD-OE即可.
(3)当点E与点A重合时,DE=DA=10,此时,直线DE的解析式为y=10;如图4,当点E与点A不重合时,过点E作GH⊥x轴,分别交AD,x轴于点G,H,连接OE.则四边形AFEG是矩形,且DE为圆O的切线,求证△OFE∽△DGE,利用其对应边成比例,设E(m,n),则有:EF=m,OF=OB-FB=5-n求得即可