Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+1与直线y=﹣ax+c相交于坐标轴上点A（﹣3，0），C（0，1）两点．

（1）直线的表达式为；抛物线的表达式为 ．
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）y= x+1；y=﹣ x2﹣ x+1
（2）

解：∵点D在抛物线在第二象限部分上的一点，

∴可设D（t，﹣ t2﹣ t+1），则F（t， t+1），

∴DF=﹣ t2﹣ t+1﹣（ t+1）=﹣ t2﹣t=﹣ （t+ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当t=﹣ 时，DF有最大值，最大值为 ，此时D点坐标为（﹣ ， ）

（3）

解：设P（m，﹣ m2﹣ m+1），如图2，

∵P在第四象限，

∴m＞0，﹣ m2﹣ m+1＜0，

∴AN=m+3，PN= m2+ m﹣1，

∵∠AOC=∠ANP=90°，

∴当以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似时有△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP，

①当△AOC∽△PNA时，则有 = ，即 = ，

解得m=﹣3或m=10，经检验当m=﹣3时，m+3=0，

∴m=10，此时P点坐标为（10，﹣39）；

②当△AOC∽△ANP时，则有 = ，即 = ，

解得m=2或m=﹣3，经检验当m=﹣3时，m+3=0，

∴m=2，此时P点坐标为（3，﹣ ）；

综上可知P点坐标为（10，﹣39）或（3，﹣ ）

【解析】解：（1）把A、C两点坐标代入直线y=﹣ax+c可得 ，解得 ，
∴直线的表达式为y= x+1，
把A点坐标和a=﹣ 代入抛物线解析式可得9×（﹣ ）﹣3b+1=0，解得b=﹣ ，
∴抛物线的表达式为y=﹣ x2﹣ x+1，
所以答案是：y= x+1；y=﹣ x2﹣ x+1；