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    10．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C，动点P从点A出发，以每秒$\frac{1}{2}$个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．
    （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
    （2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
    （3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？

    分析 （1）根据矩形的性质可以写出点A的坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x-1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值；（2）利用待定系数法求得直线AC；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标，进一步表示点M，N的坐标，得出面积关于t的二次函数，由二次函数的最值可以求解；
    （3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上，分CH是边和对角线两种情况讨论即可．

    解答 解：（1）A（1，4），
    由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4
    ∵抛物线过点C（3，0），
    ∴0=a（3-1）2+4，
    解得a=-1．
    ∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；
     
    （2）如图1，

    ∵A（1，4），C（3，0），
    ∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
    ∵点P（1+$\frac{t}{2}$，4）．
    ∴将x=1+$\frac{t}{2}$代入y=-2x+6中，解得点N的纵坐标为y=4-t，
    ∴把x=1+$\frac{t}{2}$，代入抛物线的解析式中，可求点M的纵坐标为4-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
    ∴MN=（4-$\frac{{t}^{2}}{4}$ ）-（4-t）=t-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
    又点A到MN的距离为 $\frac{t}{2}$，C到MN的距离为2-$\frac{t}{2}$，
    即S△ACM=S△AMN+S△CMN=$\frac{1}{2}$×MN×$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2}$×MN×（2-$\frac{t}{2}$ ）
    =$\frac{1}{2}$×2（t-$\frac{{t}^{2}}{4}$ ）=-$\frac{1}{4}$（t-2）2+1．
    当t=2时，S△ACM的最大值为1．
    （3）由题意和（2）知，（3，0），Q（3，t），N（$1+\frac{t}{2}$，4-t），AB=4，
    AG=4-（4-t）=t，BG=4-t，可求AC=$2\sqrt{5}$，
    当H在AC上方时，如图2，过点N作NG⊥AB，

    由四边形CQNH是菱形，可知：CQ=CN=t，
    此时，AN=$2\sqrt{5}$-t，NG∥BC，
    ∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AN}{NC}$，
    $\frac{t}{4-t}=\frac{2\sqrt{5}-t}{t}$，
    解得：t=20-$8\sqrt{5}$，
    当点H在AC下方时，如图3，

    由四边形CQNH是菱形，可知：CH=HN=CQ=t，
    ∴HE=4-t-t=4-2t，EC=2-$\frac{t}{2}$，
    在直角三角形CHE中，CE2+HE2=CH2，
    ∴$（2-\frac{t}{2}）^{2}+（4-2t）^{2}={t}^{2}$，
    解得t=$\frac{20}{13}$或t=4（舍去），
    所以，以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形时，t=$\frac{20}{13}$ 或t=20-8$\sqrt{5}$．

    点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键．

    练习册系列答案
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    12．若x-1是125的立方根，则x-7的立方根是-1．

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    （1）如果∠ABC+∠ACB=130°，那么∠BDC=115°；
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    （3）如果∠A=n°，那么∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$n°．

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    5．如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点P在x轴上，以A、P、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
    （3）若⊙M的半径为1，圆心M在抛物线上运动，当⊙M与y轴相切时，求⊙M上的点到点C的最短距离．

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    15．如图所示，请找出图中所有的互为同旁内角的角．

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    球员甲、乙进球成绩统计表
     定点A定点B定点C定点D定点E
    球员甲成绩867410
    球员乙成绩7876a
    小刚的计算结果
     平均数方差
    球员甲74
    （1）观察球员乙投篮进球数的扇形统计图（图1），回答：
    ①乙球员5个定点投篮进球数的众数是7，中位数是7；
    ②进球数为7的扇形所对的圆心角是216°
    （2）a=7，$\overline{x{\;}_{乙}}$=7．
    （3）请完成图2中表示乙成绩变化情况的折线图；
    （4）①观察图2，可以看出乙的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”），计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
    ②请你从平均数的方差的角度分析，谁将被选中．

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