Question

13．如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=$\sqrt{3}$，CE=1，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}π}{9}$
• B． $\frac{4\sqrt{3}π}{9}$
• C． $\frac{2π}{9}$
• D． $\frac{4π}{9}$

Answer 1

分析 由AC=2，AE=$\sqrt{3}$，CE=1，根据勾股定理的逆定理可判断△ACE为直角三角形，然后由sinA=$\frac{1}{2}$，可得∠A=30°，然后根据圆周角定理可得：∠COB=60°，然后由∠AEC=90°，可得AE⊥CD，然后根据垂径定理可得：$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，进而可得：∠BOD=∠COB=60°，进而可得∠COD=120°，然后在Rt△OCE中，根据sin∠COE=$\frac{CE}{OC}$，计算出OC的值，然后根据扇形的面积公式：S_扇形DAB=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$，计算即可．

解答 解：∵AE²+CE²=4=AC²，
∴△ACE为直角三角形，且∠AEC=90°，
∴AE⊥CD，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠BOD=∠COB，
∵sinA=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴∠BOD=∠COB=60°，
∴∠COD=120°，
在Rt△OCE中，
∵sin∠COE=$\frac{CE}{OC}$，
即sin60°=$\frac{1}{OC}$，
解得：OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_扇形OCD=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$=$\frac{120π×\frac{4}{3}}{360}$=$\frac{4}{9}π$．
故选D．

点评 此题考查了扇形的面积公式，勾股定理的逆定理，圆周角定理及解直角三角形等知识，解题的关键是：据勾股定理的逆定理判断△ACE为直角三角形．