Question

2．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可得C点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．

解答 解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式y=x²-2x-3；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得
y=（x-1）²-4，
M点的坐标为（1，-4），
M′点的坐标为（1，4），
设AM′的解析式为y=kx+b，
将A、M′点的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0①}\\{k+b=4②}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
AM′的解析式为y=2x+2，
联立AM′与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=5}\\{{y}_{2}=12}\end{array}\right.$
C点坐标为（5，12）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×12=24；
（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，
由ABPQ是正方形，A（-1，0）B（3，0），得
P（1，-2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，-2），
①当顶点P（1，-2）时，设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-2，
将A点坐标代入函数解析式，得
a（-1-1）²-2=0，
解得a=$\frac{1}{2}$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，
②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+2，将
A点坐标代入函数解析式，得
a（-1-1）²+2=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，
综上所述：y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2或y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，使得四边形APBQ为正方形．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用轴对称的性质得出M′的解析式，利用待定系数法得出AM′的解析式，利用解方程组得出C点坐标是解题关键；（3）利用正方形的性质得出P、Q点坐标是解题关键，又利用待定系数法求函数解析式，注意要分类讨论，以防遗漏．