Question

如图，抛物线y=-

1

2

x²+x+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l交x轴与点D．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点P是直线l上的一个动点，在点P运动的过程中：
①当△PAC的周长最小时，点P的坐标为

 

；
②在①的情形下，以点A为圆心，AP的长为半径作⊙A，试说明BP是⊙A的切线；
（3）当△PAC为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=0即可求出A，B的坐标，令x=0即可求出点C的坐标．
（2）①先求出AE所在的直线解析式，与l的交点就是点P的坐标，②连接AP，先求出∠PAD=45°，由PD是AB的垂直平分线，得出∠PBA=45°，得出∠APB=90°，即可得出BP是⊙A的切线；
（3）△PAC为等腰三角形分为三种情况）①当AC=AP时，△PAC为等腰三角形，②当AC=CP时，△PAC为等腰三角形，③当CP=AP时，△PAC为等腰三角形，分别求出点P的坐标．

解答：解：（1）令-

1

2

x²+x+4=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0），
令x=0，解得y=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
（2）①如图1，过点C作CE⊥l与抛物线交于点E，连接AE交l于点于点P，此时△PAC的周长最小

设AE所在的直线解析式为y=kx+b，
∵点C的坐标为（0，4），对称轴l=1，
∴点E的坐标为（2，4），
∴点A的坐标为（-2，0），

4=2k+b 0=-2k+b

解得

k=1 b=2

．
∴AE所在的直线解析式为y=x+2，
∵l=1，
∴y=1+2=3，
所以点P的坐标为（1，3），
故答案为：（1，3）．
②如图2，连接AP，

∵点P（1，3），
∴PD=3，
∵A（-2，0），l=1，
∴AD=3，
∵∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠APD=45°，
∵PD是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠APB=90°，
∴BP是⊙A的切线；
（3）①如图3，当AC=AP时，△PAC为等腰三角形，

设P（1，y），则AP=

AD2+DP2

=

9+y2

，
∵AC=

AO2+OC2

=

22+42

=

20

∴

9+y2

=

20

，
∴y=±

11

，
∴P（1，

11

）或（1，-

11

）．
②如图4，当AC=CP时，△PAC为等腰三角形，

设P（1，y），
∵C（0，3），
∴CP=

(y-3)2+12

，
∵AC=

AO2+OC2

=

22+42

=

20

∴

(y-3)2+12

=

20

，
∴y=3±

19

，
∴点P的坐标为（1，3+

19

）或（1，3-

19

）
③如图5，当CP=AP时，△PAC为等腰三角形，

设P（1，y），
∵C（0，3），A（-2，0）
∴CP=

(y-3)2+12

，
AP=

y2+32

∵AC=AP
∴

(y-3)2+12

=

y2+32

，
∴y=

1

6

，
∴点P的坐标为（1，

1

6

）．
∴当△PAC为等腰三角形时，点P的坐标为：（1，

11

）或（1，-

11

）或（1，3+

19

）或（1，3-

19

）或（1，

1

6

）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题，本题的难点是（3）解题的关键是分三种情况讨论△PAC为等腰三角形时点P的坐标．