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【题目】

如图,把EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=BAD=60°,且AB>

EPF的大小;

AP=8,求AE+AF的值;

EFP的三个顶点EFP分别在线段ABADAC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.

【答案】(1)120°;(2);(3)AP的最大值为12,AP的最小值为6.

【解析】

试题分析:(1)如图,过点P作PGEF于G,已知PE=PF=6,EF=,根据等腰三角形的性质可得FG=EG=FPG=EPG=.在RtFPG中,由sinFPG=可求得FPG=60°,所以EPF=2FPG=120°.(2)PMABMPNADN,根据菱形的性质可得DAC=BAC,AM=AN,PM=PN,再利用HL证明RtPMERtPNF,即可得NF=ME.又因AP=10,所以AM= AN =APcos30°==.所以AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=.(3)如图,当EFP的三个顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上运动时,点P在之间运动,易知,所以AP的最大值为12,AP的最小值为6.

试题解析:(1)如图,过点P作PGEF于G.

PE=PF=6,EF=

FG=EG=FPG=EPG=.

在RtFPG中,sinFPG=.

∴∠FPG=60°,

∴∠EPF=2FPG=120°.

(2)作PMABMPNADN

AC为菱形ABCD的对角线

∴∠DAC=BAC,AM=AN,PM=PN.

在RtPME和RtPNF 中,PM=PN,PE=PF,

RtPMERtPNF

NF=ME.

又AP=10,

AM= AN =APcos30°==.

AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=.

(3) 如图,当EFP的三个顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上运动时,点P在之间运动,易知

AP的最大值为12,AP的最小值为6.

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