Question

20．已知，如图，直线L经过A（6，0）和B（0，8）两点，它与抛物线y=ax²在第一象限内相交于点P，且△OAP是以AP为腰的等腰三角形，求a的值．

Answer 1

分析 首先求得直线AB的解析式，作PC⊥OA于C，然后等腰三角形的性质和平行线分线段成比例定理求得PC，从而求得点P的纵坐标，然后代入直线AB的解析式求得其横坐标，代入二次函数即可求解．

解答 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（6，0）和B（0，8）分别代入y=kx+b，
得k=-$\frac{4}{3}$，b=8，
故y=-$\frac{4}{3}$x+8，
∵△OAP是以AP为腰的等腰三角形，
①当AP=OP时：作PC⊥OA于C，
∴OC=OA，PC∥OB，
∴PC=$\frac{1}{2}$OB=4，
∴P的纵坐标为4，
把y=4代入y=-$\frac{4}{3}$x+8得，4=-$\frac{4}{3}$x+8，解得x=3，
∴P（3，4），
代入y=ax²得，4=9a，
∴a=$\frac{4}{9}$．
②当AP=OA时，
∵A（6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PC∥OB，
∴$\frac{PA}{AB}$=$\frac{PC}{OB}$，即$\frac{6}{10}$=$\frac{PC}{8}$，
∴PC=4.8，
∴P的纵坐标为4.8，
把y=4.8代入y=-$\frac{4}{3}$x+8得，4.8=-$\frac{4}{3}$x+8，解得x=$\frac{12}{5}$，
∴P（$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），
代入y=ax²得，$\frac{24}{5}$=（$\frac{12}{5}$）²a，
∴a=$\frac{5}{6}$．
综上，a的值为$\frac{4}{9}$或$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数与图象相结合的应用，作出辅助线，关键三角形的中位线，从而求得P点的坐标是解题的关键．