Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：数形结合

分析：（1）把A点坐标代入y=

k

x

可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、B两点坐标可得AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，则

AC

NO

=

4-n

n

，再根据反比例函数解析式可得

4

n

=m，则

AC

ON

=m-1，而

BC

MO

=

m-1

1

，可得

AC

NO

=

BC

MO

，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；
（3）根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m-1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可．

解答：解：（1）∵y=

k

x

（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=

4

x

；

（2）∵点A（1，4），点B（m，n），
∴AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，
∴

AC

NO

=

4-n

n

=

4

n

-1，
∵B（m，n）在y=

4

x

上，
∴

4

n

=m，
∴

AC

ON

=m-1，而

BC

MO

=

m-1

1

，
∴

AC

NO

=

BC

MO

，
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM；

（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，
∴m-1=2，
m=3，
∴B（3，

4

3

），
设AB所在直线解析式为y=kx+b，
∴

4 3 =3k+b 4=k+b

，
解得

k=- 4 3 b= 16 3

，
∴解析式为y=-

4

3

x+

16

3

．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必然能使函数解析式左右相等．