Question

如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=

1

n

AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S₁，矩形ABCD的面积为S₂，当

S1

S2

=

17

30

时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题

分析：（1）先求证△EFO≌△BGO，可得EF=BG，再根据△BOF≌△EOF，可得EF=BF；即可证明四边形BFEG为菱形；
（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；
（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠EFO=∠BGO，
∵FG为BE的垂直平分线，
∴BO=OE；
∵在△EFO和△BGO中，

∠EFO=∠BGO ∠FOE=∠GOB=90° BO=EO

，
∴△EFO≌△BGO，
∴EF=BG，
∵AD∥BC，
∴四边形BGEF为平行四边形；
∵在△BOF和△EOF中，

EO=BO ∠EOF=∠BOF=90° FO=FO

，
∴△BOF≌△EOF，
∴EF=BF，
∵邻边相等的平行四边形为菱形，
∴四边形BGEF为菱形．

（2）当AB=a，n=3时，AD=2a，AE=

4

3

a，
  根据勾股定理可以计算BE=

5

3

a，
∵AF=AE-EF=AE-BF，在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，计算可得AF=

7

24

a，EF=

25

24

a，
∵菱形BGEF面积=

1

2

BE•FG=EF•AB，计算可得FG=

5

4

a．

（3）设AB=x，则DE=

2x

n

，
当

S1

S2

=

17

30

时，

BG•AB

AB•AD

=

17

30

，可得BG=

17

15

x，
在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，计算可得AF=

8

15

x，
∴AE=AF+FE=AF+BG=

5

3

x，DE=AD-AE=

1

3

x，
∴

1

3

x=

2x

n

，
∴n=6．

点评：牢记菱形的底乘高和对角线求面积的计算公式，熟练运用勾股定理才能解本题．