Question

阅读下列材料：
小明同学遇到了这样一个问题：如图，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将以点O为顶点的直角绕点O任意旋转，且直角两边与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比此问题解决．
（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为

 

；
参考小明同学的想法，解答问题：

 

（2）请你在图3中，解决原问题?

 

（3）如图4．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹．

Answer 1

考点：作图—应用与设计作图

专题：

分析：（1）首先得出△BOM≌△CON（ASA），进而得出S_△BOC=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

a2；
（2）连接AC，BD，得到其交点O，进而将交点与M连接，再作与MO垂直的直线，即可得出答案．
（3）利用平行四边形的性质得到其对角线交点，进而得出过交点的直线即可．

解答：解：（1）如图2，连接BO，
∵O是边长为a的正方形ABCD的中心，
∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，
∵∠CON+∠BON=90°，∠MOB+∠BON=90°，
∴∠MOB=∠CON，
在△BOM和△CON中

∠MOB=∠CON BO=CO ∠MBO=∠NCO

，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴重叠部分的面积为：S_△BOC=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

a2；
故答案为：

1

4

a2；

（2）如图3所示：

（3）如图4所示：当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分．

点评：此题主要考查了应用与设计作图以及全等三角形的判定与性质和正方形以及平行四边形的性质等知识，利用图形的中心得出符合题意的直线是解题关键．