Question

7．已知α、β是方程x²-3x+1=0的两根，则α³-$\frac{3}{β}$=$\frac{9+5\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9-5\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程根的定义得到α²-3α+1=0，则α²=3α-1，然后再根据根与系数的关系得αβ=1，再利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：∵α、β是方程x²-3x+1=0的两根，
∴α²-3α+1=0，α²=3α-1，αβ=1，
解得：α=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或α=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，对应β=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或β=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
则α³-$\frac{3}{β}$
=$\frac{{α}^{3}β-3}{β}$，
=$\frac{{α}^{2}-3}{β}$
=$\frac{3α-4}{β}$，
∴当α=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，β=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时，原式=$\frac{9+5\sqrt{5}}{2}$；
当α=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，β=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，原式=$\frac{9-5\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{9+5\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9-5\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．