Question

我们把1°的圆心角所对的弧叫做l°的弧．则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为：∠AOB=

AB

．由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．”是真命题，请结合图1给予证明（不要求写己知、求证．只需直接证明），并解决以下的问题（1）和问题（2）．
问题（1）：如图2，⊙0的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，求证：∠APC=

1

2

（

AC

+

BD

）；
问题（2）：如图3，⊙0的两条弦AB、CD相交于圆外一点P．问题（1）中的结论是否成立？如果成立，给予证明；如果不成立，写出一个类似的结论（不要求证明）

Answer 1

分析：（1）根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半，得∠AOB

m

.

AB

，连BC，可证得∠APC=

1

2

（

AC

+

BD

）；
（2）问题（1）中的结论不成立．类似的结论为：∠BPC=

1

2

（

BD

-

AC

）．

解答：证明：∵∠APB=

1

2

∠AOB，又∠AOB

m

.

AB

，
∴即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．（4分）
（1）连BC，则∠APC=∠PCB+∠PBC
∠PCB的度数等于弧BD的度数的一半，∠PBC的度数等于弧AC的度数的一半，
∠APC=

1

2

（

AC

+

BD

）；
（2）问题（1）中的结论不成立．（11分）
类似的结论为：∠BPC=

1

2

（

BD

-

AC

）．

点评：本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，是基础知识要熟练掌握．