解:(1)
作点B关于AC的对称点B′,连接B′E交AC于P,
此时PB+PE的值最小.连接AB′.
AB′=AB=
AE=
∵∠B′AC=∠BAC=45°∴∠B′AB=90°∴PB+PE的最小值=B′E=
(2)作点B关于AC的对称点B,过B′作B′N⊥AB于N,交AC于M.此时BM+MN的值最小.
BM+MN=B′N.
理由:如图1,在AC上任取一点l(不与点M重合),
在AB上任取一点N
l,
连接B′M
l、BM
l、M
lN
l、B′NN
l.
∵点B′与点B关于AC对称
∴BM
l=B′M
l∴BM
l+M
lN
l=B′M
l,BMM
lN
l>B′N
l又∵B′N
l>B′N,BM+MN=B′N
∴BM
l+M
lN
l>BM+MN
计算:如图2
∵点B′与点B关于AC对称
∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°∴∠B′AB=60°图2
∴△B′AB是等边三角形
∴B′B=AB=2,∠B′BN=60°又∵B′N⊥AB∴B′N=B′B°=
(3)方法一:构造图形如图所示
其中:AB=4,AC=1,DB=2,AP=x,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B.
那么PC+PD=
所求
的最小值就是求PC+PD的
最小值.
作点C关于AB的对称点C′,过C′作C′E垂直DB的延长线于E.
则C′E=AB=4,DE=2+1=3,C′D=
所求
的最小值是5.
方法二:构造图形如图所示:
在直角坐标系中,点A(0,1)、B(4,2)、P(x,0)(0≤x≤4)
那么PA+PB=
所求
的最小值就是求PA+PB的
最小值.
作点C关于x轴的对称点A′,过A′作A′C垂直于
y轴,过点B作BC垂直于x轴交A′C于点C.
则A′C=4,BC=3,A′B=
所求
的最小值是5.
分析:(1)作点B关于AC的对称点B′,连接B′E交AC于P,此时PB+PE的值最小.连接AB′,根据勾股定理求解;
(2)作点B关于AC的对称点B,过B′作B′N⊥AB于N,交AC于M.此时BM+MN的值最小.通过证明△B′AB是等边三角形,根据等边三角形的性质求解;
(3)将求代数式
(0≤x≤4)的最小值转化为轴对称--最短路线问题.
点评:此题主要考查轴对称--最短路线问题,同时考查了勾股定理及等边三角形的判定和性质,难度较大.