Question

某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

10

；
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值．

Answer 1

分析：（1）作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P，此时PB+PE的值最小．连接AB′，先根据勾股定理求出AB′的长，再判断出∠B′AB=90°，根据勾股定理即可得出结论；
（2）作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．通过证明△B′AB是等边三角形，根据等边三角形的性质求解；
（3）将求代数式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值转化为轴对称--最短路线问题．

解答：解：（1）如图1所示，作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P，此时PB+PE的值最小．连接AB′．
AB′=AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

，
AE=

1

2

AB=

2

，
∵∠B′AC=∠BAC=45°，
∴∠B′AB=90°，
∴PB+PE的最小值=B′E=

B′A2+AE2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．
故答案为：

10

；
     
（2）如图2，作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．
BM+MN=B′N．
∵点B′与点B关于AC对称
∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°，
∴∠B′AB=60°，
∴△B′AB是等边三角形
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°，
又∵B′N⊥AB，
∴B′N=B′B=

3

；

（3）构造图形如图3所示，
其中：AB=4，AC=1，DB=2，AP=x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．
∵PC+PD=

x2+1

+

(4-x)2+4

，
∴所求的最小值就是求PC+PD的最小值．
作点C关于AB的对称点C′，过C′作C′E垂直DB的延长线于E．则C′E=AB=4，DE=2+1=3，C′D=

C′E2+DE2

=

42+32

=5
∴所求代数式的最小值是5．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，同时考查了勾股定理及等边三角形的判定和性质，难度较大．