Question

2．如图，△ABE中，∠AEB=90°，AE=BE，BC平分∠ABE交AE于C，AD⊥BC于D，连DE．
（1）求证：BC=2AD；
（2）求证：AB=AE+CE；
（3）求证：∠EDB=45°．

Answer 1

分析 （1）延长AD、BE交于F点，由ASA证明△ABD≌△FBD，得出AD=FD=$\frac{1}{2}$AF，证出∠FAE=∠CBE，由AAS证明△AFE≌△BCE，得出AF=BC，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出FE=CE，由FB=FE+BE，BE=AE，即可得出AB=AE+CE；
（3）证出A、B、E、D四点共圆，由圆周角定理即可得出∠EDB=∠BAE=45°，

解答 （1）证明：延长AD、BE交于F点，如图所示：
∵BD⊥AD且BD平分∠ABC，
∴∠ADB=∠FDB=90°，∠ABD=∠FBD，
在△ABD和△FBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠FDB}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\\{∠ABD=∠∠FBD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴AD=FD=$\frac{1}{2}$AF，
∵∠FAE+∠F=90°，∠CBE+∠F=90°，
∴∠FAE=∠CBE，
∵在△AFE与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠CBE}&{\;}\\{∠AEF=∠AEB=90°}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCE（AAS），
∴AF=BC，
∴BC=2AD；
（2）证明：∵AD=FD，BD⊥AD，
∴AB=FB，由（1）得：△AFE≌△BCE，
∴FE=CE，
∵FB=FE+BE，BE=AE，
∴AB=AE+CE；
（3）证明：∵∠ADB=∠AEB=90°，AE=BE，
∴A、B、E、D四点共圆，∠BAE=45°，
∴∠EDB=∠BAE=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．