Question

17．如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE=DF，连接AD．
（1）求证：∠FAD=∠EAD；
（2）连接BC，判断线段AD与线段BC的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的判定方法得出∠FAD=∠EAD即可；
（2）延长AD交BC于M，证出∠ABD=∠ACD，由AAS证明△ABD≌△ACD，得出AB=AC，由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，DE=DF，
∴AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD；
（2）解：AD垂直平分BC，理由如下：
延长AD交BC于M，如图所示：
∵BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，
∴∠ABD+∠BAE=90°，∠ACD+∠BAE=90°，
∴∠ABD=∠ACD，
在△ABD和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠EAD}&{\;}\\{∠ABD=∠ACD}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC，
∵∠FAD=∠EAD，
∴AD垂直平分BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定方法、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．