Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设经过x秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
由题意得DN=2x，AN=6-2x，AM=x，
∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，
∴AD=BC=6，CD=AB=3，
矩形ABCD的面积为：AB•AD=3×6=18，
△AMN的面积==×18，
可得方程x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
答：经过1秒或2秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的；

（2）由题意得DN=2t，AN=6-2t，AM=t，
若△NMA∽△ACD，
则有=，即=，
解得x=1.5，
若△MNA∽△ACD
则有=，即=，
解得x=2.4，
答：当t=1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．
分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；
（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．
点评：此题考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．