Question

9．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=6．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出DE=2，CE=4，再根据翻折变换的性质可得PE=CE，FP=FC，∠EPF=∠C=90°，∠CFE=∠PFE，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠DPE=30°，从而得到∠DPF，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CFP，再求出∠CFE=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF，利用勾股定理列式求出FC，从而得解．

解答 解：∵DC=3DE=6，
∴DE=2，CE=4，
由翻折变换得，PE=CE，FP=FC，∠EPF=∠C=90°，∠CFE=∠PFE，
所以，在Rt△DPE中，∠DPE=30°，
所以，∠DPF=∠EPF+∠DPE=90°+30°=120°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠CFP=180°-∠DPF=180°-120°=60°，
∴∠CFE=$\frac{1}{2}$∠CFP=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴EF=2CE=2×4=8，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC=$\sqrt{E{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并确定出直角三角形中30°的角是解题的关键．