Question

4．如图，直线y=-2x+1与y轴交于点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点C，作CA⊥x轴于A，AB=$\sqrt{5}$，点D（n，2）在双曲线上，
（1）求k和n的值；
（2）在x轴上确定点M，使DM=DC，求点M的坐标；
（3）点P、Q分别在x轴和双曲线上，若以P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形，画出示意图并直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先利用勾股定理求出点A坐标，再求出点C坐标，即可求出k，再利用待定系数法求出n即可．
（2）如图1中，作DH⊥x轴于H．在Rt△DHM中，DH=2，DM=3$\sqrt{2}$，推出HM=$\sqrt{D{M}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{14}$，推出点M的坐标为（$\sqrt{14}$-5，0）或（-5-$\sqrt{14}$，0）．
（3）如图2中，过D作DN∥y轴，CN∥x轴，QM⊥x轴于M．由PQ=CD，PQ∥CD，易证△CDN≌△PQM，推出PM=QM=DN=CN=3，当y=3时，3=-$\frac{10}{x}$，可得x=-$\frac{10}{3}$，推出M（-$\frac{10}{3}$，0），可得P（-$\frac{19}{3}$，0），当P′Q′∥CD，P′Q′=CD时，同法可得P′（$\frac{19}{3}$，0）．

解答 解：（1）∵直线y=-2x+1与y轴交于点B，
∴B（0，1），
在Rt△ABO中，∵AB=$\sqrt{5}$，OB=1，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{5-1}$=2，
∴A（-2，0），C（-2，5），
把C（-2，5）代入y=$\frac{k}{x}$，5=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-10，
∴y=-$\frac{10}{x}$，
∵点D（n，2）在双曲线上，
∴2=-$\frac{10}{n}$，
∴n=-5．
∴k=-10，n=-5．

（2）如图1中，作DH⊥x轴于H．

∵DC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
在Rt△DHM中，DH=2，DM=3$\sqrt{2}$，
∴HM=$\sqrt{D{M}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴点M的坐标为（$\sqrt{14}$-5，0）或（-5-$\sqrt{14}$，0）．

（3）如图2中，过D作DN∥y轴，CN∥x轴，QM⊥x轴于M．

∵C（-2，5），D（-5，2），
∴CD=3$\sqrt{3}$，
∵PQ=CD，PQ∥CD，易证△CDN≌△PQM，
∴PM=QM=DN=CN=3，
当y=3时，3=-$\frac{10}{x}$，
∴x=-$\frac{10}{3}$，
∴M（-$\frac{10}{3}$，0），
∴P（-$\frac{19}{3}$，0），
当P′Q′∥CD，P′Q′=CD时，
同法可得P′（$\frac{19}{3}$，0）．
综上所述，满足条件的点P坐标（$\frac{19}{3}$，0）或（-$\frac{19}{3}$，0）．

点评 本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、待定系数法、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．