Question

4．若x₁，x₂是方程x²-x-2015=0的两个实数根，则$3{x_1}+{（{{x_2}+1}）^2}$的值是2019．

Answer 1

分析 先利用一元二次方程根的定义得到x₂²=x₂+2015=0，则$3{x_1}+{（{{x_2}+1}）^2}$可化简为3（x₁+x₂）+2016，然后根据根与系数的关系得到x₁+x₂=1，再利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵x₂是方程x²-x-2015=0的实数根，
∴x₂²-x₂-2015=0，
∴x₂²=x₂+2015=0，
∴$3{x_1}+{（{{x_2}+1}）^2}$=3x₁+x₂²+2x₂+1
=3x₁+x₂+2015+2x₂+1
=3（x₁+x₂）+2016，
∵x₁，x₂是方程x²-x-2015=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1，
∴$3{x_1}+{（{{x_2}+1}）^2}$=3（x₁+x₂）+2016=3×1+2016=2019．
故答案为2019．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程解的定义．